Связь между длительностью импульса и шириной его спектра. Спектр излучения радиосигнала Что ширина спектра

Ширина спектра сигнала 1. Величина, характеризующая часть спектра сигнала, содержащего спектральные составляющие, суммарная которых составляет заданную часть полной мощности сигнала

Употребляется в документе:

Приложение № 1 к ГОСТ 24375-80

Телекоммуникационный словарь . 2013 .

Смотреть что такое "Ширина спектра сигнала" в других словарях:

ширина спектра сигнала - Величина, характеризующая часть спектра сигнала, содержащего спектральные составляющие, суммарная мощность которых составляет заданную часть полной мощности сигнала. [ГОСТ 24375 80] Тематики телевидение, радиовещание, видео Обобщающие термины… …

Ширина спектра сигнала - 2. Ширина спектра сигнала Величина, характеризующая часть спектра сигнала, содержащего спектральные составляющие, суммарная мощность которых составляет заданную часть полной мощности сигнала Источник: ГОСТ 24375 80: Радиосвязь. Термины и… …

ширина спектра (сигнала оптического канала) - 44 ширина спектра (сигнала оптического канала) : Полоса частот или диапазон длин волн, в котором передается основная часть средней мощности оптического излучения сигнала оптического канала Источник: ОСТ 45.190 2001: Системы передачи волоконно… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

ширина спектра выходного сигнала модуля (блока) СВЧ - ширина спектра Δfшир Интервал частот спектра выходного модуля (блока) СВЧ, в котором сосредоточена заданная часть мощности колебаний. [ГОСТ 23221 78] Тематики компоненты техники связи Обобщающие термины модули СВЧ, блоки СВЧ Синонимы ширина … Справочник технического переводчика

ширина спектра - Полоса частот, в которой сосредоточена основная энергия излучаемого сигнала и находятся частотные составляющие, имеющие максимальные значения. Ширина спектра обычно измеряется по уровню 0,5 (ЗдБ) от максимального значения мощности или по уровню 0 … Справочник технического переводчика

Ширина спектра выходного сигнала модуля (блока) СВЧ - 20. Ширина спектра выходного сигнала модуля (блока) СВЧ Δfшир

Величина и длительность воздействия тока на тело человека.

Виды движения материальных потоков и длительность производственного цикла

Випромінювання та поглинання світла атомом. Неперервний і лінійчатий спектри. Спектральний аналіз. Лазер

Влияние отражённого сигнала на результаты измерений. Многопутность

Время - форма бытия материи, которая выражает длительность существования материальных объектов и последовательность изменений этих объектов в процессе развития.

Нам уже ясно, что чем меньше длительность сигнала, тем шире его спектр.

Это фундаментальное положение теории сигналов можно установить в общем виде на основе преобразования Фурье

Рассмотрим поведение каждого из интегралов при увеличении Ω.

В соответствии и леммой Римана, утверждающей, что если функция s(t) абсолютно интегрируема на промежутке то

Геометрический смысл этого утверждения поясняется рисунком, в верхней части которого изображены некоторый произвольный сигнал s(t) и гармоническое колебание с частотой Ω, а в нижней части – их произведение.

При достаточно высокой частоте Ω каждая положительная полуволна почти полностью компенсируется ближайшей к ней отрицательной полуволной и суммарная площадь под кривой s(t)cos(Ωt) или s(t)sin (Ωt) близка к нулю. Под достаточно высокой частотой следует понимать частоту Ω=2π/Т, при которой период Т достаточно мал по сравнению с длительностью сигнала s(t).

Очевидно, что чем короче сигнал, тем меньше и период Т, соответствующий этому условию.

Иными словами, чем короче сигнал, тем выше граничная частота спектра сигнала. Так как нижняя граница спектра примыкает к нулевой частоте, то общий спектр получается тем шире, чем меньше длительность сигнала. При этом оказывается, что произведение длительности на «техническую» ширину его спектра является величиной, близкой к единице.

Ранее, мы на качественном уровне давали определение эквивалентной длительности, более строго она может быть определена как

Причем начало отсчета времени совмещается с серединой импульса, так что выполняется условие

Аналогично, эквивалентная ширина спектра ΔΩ=2πΔF определяется выражением

При дополнительном условии

Уточняющем начало отсчета частоты на оси Ω.

Если сигнал нормирован таким образом, что его энергия Е равна единице, т.е.

То выражение для τ и ΔΩ, зависящая от формы сигнала, в любом случае не может быть меньше ½.

Таким образом, для любого сигнала выполняется условие τ и ΔF≥1/4π.

В частности, для гауссова импульса, основываясь на ранее полученных результатах, находим

Используя условие нормировки

получаем

Из этого примера видно, что из всех сигналов гауссов импульс обладает наименьшей возможной величиной произведения τ и ΔF.

Сжатие импульса во времени с целью, например, повышения точности измерения момента его появления, неизбежно сопровождается расширением спектра импульса, что заставляет расширять полосу пропускания измерительного устройства. Аналогично, сжатие спектра импульса, например с целью повышения точности измерения частоты неизбежно сопровождается растяжением сигнала во времени, что требует увеличения промежутка времени наблюдения (измерения). Невозможность одновременно сконцентрировать сигнал в узкой полосе часто и в коротком промежутке времени представляет собой одно из проявлений извествного в физике принципа неопределенности.

Теоретически, как указывалось выше, для большинства периодических функций спектр неограничен, т.е. для передачи сигналов телемеханики без изменения формы необходимы бесконечно большая полоса пропускания канала связи и отсутствие амплитудных и фазовых искажений. Практически все каналы связи имеют ограниченную полосу пропускания, и форма сигналов при передаче по каналу изменяется даже при отсутствии в этой полосе амплитудных и фазовых искажений. Очевидно, важно передать ту часть спектра сигнала, которая содержит гармонические составляющие с относительно большими амплитудами. В связи с этим вводится понятие практической ширины спектра сигнала. Под практической шириной спектра сигнала понимается та область частот, в пределах которой лежат гармонические составляющие сигнала с амплитудами, превышающими наперед заданную величину.

Поскольку средняя мощность, выделяемая сигналом на активном сопротивлении, равном 1 Ом, складывается из мощностей, выделяемых на этом сопротивлении гармоническими составляющими,

практическая ширина спектра с энергетической точки зрения может быть определена как область частот, в пределах которой сосредоточена подавляющая часть мощности сигнала.

В качестве примера определим практическую ширину спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов (рис. 1.8,а), если требуется учесть все гармонические составляющие сигнала, амплитуды которых более 0,2 от амплитуды первой гармоники. Число подлежащих учету гармоник k может быть получено из выражения

,

откуда k = 5.

Таким образом, практическая ширина спектра в рассмотренном примере оказывается равной 5W 1 , в ней размещаются всего три гармоники (первая, третья и пятая) и постоянная составляющая.

Средняя мощность P k 5 , выделяемая в активном сопротивлении, равном 1 Ом, перечисленными составляющими, равна

Средняя мощность, выделяемая в этом же сопротивлении всеми составляющими сигнала, будет

Таким образом, %, т.е. составляющие, входящие в практический спектр, выделяют в активном сопротивлении 96 % всей мощности сигнала.

Очевидно, расширение практического спектра данного сигнала (свыше 5W 1) с энергетической точки зрения нецелесообразно.

Ограничение спектра сигнала оказывает также влияние на его форму. Для иллюстрации на рис. 1.8 показано изменение формы прямоугольных импульсов при сохранении в спектре только постоянной составляющей и первой гармоники (рис. 1.8, б ), при ограничении спектра частотой 3W 1 (рис. 1.8, в ) и при ограничении спектра частотой 5W 1 (рис. 1.8, г ). Как следует из рисунка, чем круче должен быть фронт импульса, тем большее число высших гармонических составляющих должно входить в состав сигнала.

A 0 +A 1 (t )

		б
		a

U (t )

U (t )

A 0 +A 1 (t )+A 3 (t ) A 0 +A 1 (t )+A 3 (t)+A 5 (t )

		в		г

Рис. 1.8. Формы сигнала при ограничении спектра последовательности

прямоугольных импульсов

Рассмотренная зависимость формы периодического сигнала от количества суммируемых гармоник показывает, что при выборе практической ширины спектра сигнала нельзя ограничиваться только энергетическими соображениями. Необходимо учитывать требования к сигналу на выходе системы, как с энергетической точки зрения, так и с точки зрения сохранения его формы. В общем случае практическая ширина спектра сигнала выбирается из условия

, (1.21)

где m = 0,5… 2 – коэффициент формы импульса; при m = 1 обеспечивается передача около 90 % всей энергии сигнала.

В кодоимпульсных системах телеизмерения, а также во многих системах телеуправления каждая кодовая комбинация состоит из определенной последовательности прямоугольных импульсов и пауз. Кодовая комбинация, соответствующая данной величине измеряемого параметра или команде, может периодически передаваться по каналу связи. Спектр такого сигнала зависит, конечно, от того какая именно кодовая комбинация передается. Но самым главным фактором, определяющим удельный вес высших гармоник спектра, остается наибольшая частота следования импульсов. Поэтому и для кодоимпульсных систем при определении практически необходимой ширины полосы частот выбирают сигнал в виде периодической последовательности прямоугольных импульсов (рис. 1.5). Параметр t выбирают равным длительности самого короткого импульса среди всех встречающихся в кодовых комбинациях, период следования T = 2t. В этом случае наибольшая частота следования импульсов W max = 2p / T и частота основной гармоники спектра W 1 = W max . Необходимая ширина полосы частот сигнала определяется дискретным спектром с ограниченным числом составляющих и в соответствии с выражением (1.21).

Характер спектра, определяющий требуемую полосу частот, зависит не только от вида сигнала, но и от условий, существующих в тракте передачи. Если переходные процессы, возникающие в системе при передаче одного импульса, заканчиваются до момента возникновения следующего импульса, то вместо периодической последовательности импульсов можно рассматривать передачу независимых одиночных импульсов.

При практических расчетах длительности сигнала и шири­ны его спектрав ряде случаев удобно пользоваться энергетиче­ским критерием. Активную длительность импульсаи активную ширину спектра (или ) определяют как интервал времени и диапазон частот соответственно, внутри которых сосре­доточена подавляющая часть полной энергии Э импульса (напри­мер, 95%). Если сигнал s (t ) задан на интервале времени , то его активная длительность рассчитывается из условия

В левой части равенства записана энергия сигнала, сосредоточен­ная в интервале времени 0 – (рис. 4.33,а). В правой части равенства – доля (определяемая заданным коэффициентом полной энергии сигнала.

Исходя из равенства Парсеваля, аналогично рассчиты­вается активная ширина спектра сигнала

Таким образом, активная ширина спектра сигнала соответствует полосе частот, в пределах которой заключена доля полной энергии сигнала (рис. 4.33, б).

В случае простых видеоимпульсов (например, прямоугольного, треугольного, косинусоидального), спектр которых сосредоточен в области низких частот, можно считать с достаточной для прак­тики точностью, что

где, - постоянная величина, зависящая от формы импульса и критерия оценки величини .

Рис.4.33. Сигнал (а) и его спектр (б)

Как видно из (4.61), уменьшение длительности импульса неиз­бежно приводит к увеличению ширины его спектра, и наоборот. Пользуясь соотношением (4.61), можно рассчитать полосу частот, занимаемую спектром сигнала в зависимости от его длительности.

Рис 4.34. Прямоугольный импульс (а) и его спектр (б)

Для перечисленных выше типов видеоимпульсов зна­чение близко к единице. В частности, если оцени­вать активную ширину спе­ктра прямоугольного им­пульса длительностью(рис. 4.34, а) как полосу частотf = 0 и тем значением частоты, когда спектральная плотность первый раз обращается в нуль (рис. 4.34, б), т. е. когда аргумент спектральной плотности (4.42) прини­мает значение ,то = 1. Следовательно, для пря­моугольного импульса = 1.

Пользуясь соотношением (4.60), можно показать, что в полосе (0, ) (в первом лепестке) сосредоточено свыше 90% полной энергии сигнала.

1. Вопросы и задания для самопроверки:

Из каких тригонометрических функций можно сформировать периодический сигнал?

Что такое постоянная и основная составляющие, гармоники сигнала?

Какие формулы ряда Фурье используют для описания периодических сигналов?

Записать ряд Фурье (4.4) в тригонометрической и комплексных формах, ограничившись третьей гармоникой.

Что такое спектр амплитуд?

Периодический сигнал задан рядом Фурье в форме

Представить этот ряд в тригонометрической форме (4.10).

Из предыдущих параграфов уже ясно, что чем меньше длительность сигнала, тем шире его спектр. Для установления количественных соотношений между указанными параметрами сигнала необходимо условиться об определении понятий длительность сигнала и ширина его спектра. В практике применяются различные определения, выбор которых зависит от назначения сигнала, его формы, а также от структуры спектра. В некоторых случаях выбор является произвольным. Так, ширину спектра прямоугольного импульса определяют либо как основание главного лепестка (например, в п. 1 § 2.10), либо на уровне от максимального значения спектральной плотности. Длительность колоколообразного импульса (см. § 2.10, п. 3) и ширину его спектра иногда определяют на уровне 0,606 от максимального значения соответственно или . Часто пользуются энергетическим критерием, понимая под шириной спектра полосу частот, содержащую заданную долю полной энергии сигнала.

Для практики важное значение имеет также оценка протяженности «хвостов» спектра вне полосы частот, содержащей основную часть энергии сигнала.

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПОЛОСА Х ДЛИТЕЛЬНОСТЬ

Для выявления предельных соотношений, связывающих длительность сигнала и ширину спектра, в современной теории сигналов большое распространение получил метод моментов.

По аналогии с понятием момента инерции в механике эффективную длительность сигнала можно определить выражением

где середина импульса определяется из условия

Имеется в виду, что функция интегрируема с квадратом (сигнал с конечной энергией).

Аналогично эффективная ширина спектра определяется выражением

Так как модуль спектра не зависит от смещения во времени, можно положить Наконец, сигнал можно нормировать таким образом, чтобы его энергия Э равнялась единице и, следовательно,

При этих условиях выражения для и принимают вид

и, следовательно, произведение длительность x полоса

Нужно иметь в виду, что являются среднеквадратическими отклонениями соответственно от и . Поэтому полную длительность сигнала следует приравнять а полную ширину спектра (включая и область отрицательных частот) - величине .

Произведение зависит от формы сигнала, однако оно не может быть меньше 1/2. Оказывается, что наименьшее возможное значение соответствует колоколообразному импульсу.

Метод моментов применим не к любым сигналам. Из выражений для видно, что функция с увеличением t должна убывать быстрее, чем , а функция - быстрее, чем так как в противном случае соответствующие интегралы стремятся к бесконечности (расходятся).

В частности, это относится к спёктру строго прямоугольного импульса, когда

В этом случае выражение для не имеет смысла и оценку эффективной ширины спектра прямоугольного импульса приходится основывать на иных критериях.

Рассмотрим некоторые простые сигналы типа видеоимпульсов, т. е. сигналов, спектр которых сосредоточен в области низких частот, и определим с помощью равенства Парсеваля энергию, содержащуюся в полосе от до некоторой граничной частоты :

Относя затем к полной энергии импульса Э, определяем коэффициент

характеризующий концентрацию энергии в заданной полосе.

В качестве исходного сигнала примем прямоугольный импульс, затем рассмотрим треугольный и колоколообразный (гауссовский). Последний особенно показателен, так как для него обеспечивается максимально возможная концентрация энергии спектра в заданной полосе .

Для прямоугольного импульса в соответствии с (2.68)

Вычислив интеграл, получим

где - интегральный синус.

Переходя к аргументу , записываем

Для треугольного импульса, спектральная плотность которого определяется формулой (2.73), а полная энергия

Рис. 2.23. Доля энергии сигнала в полосе (а) и деформация импульса при усечении спектра (б)

Для гауссовского импульса в соответствии с (2.77) получаем

где - полная энергия гауссовского импульса, а функция

Учитывая, что длительность гауссовского импульса определена в п. 3 § 2.10 и равна , аргумент функции можно записать в форме Функции для трех импульсов представлены на рис. 2.23, а.

Итак, значение произведения требующееся для заданного максимально для прямоугольного импульса (при ) и минимально для гауссовского. В частности, уровню соответствуют значения , равные 1,8; 0,94 и 0,48.

Выбор границы спектра по энергетическому критерию в некоторых практических задачах не всегда приемлем. Так, если при обработке импульса требуется сохранить его форму достаточно близкой к прямоугольной, то должно быть гораздо больше единицы. Для иллюстрации этого важного положения на рис. 2.23, б показаны исходный импульс (штриховая линия) и его деформация при усечении спектра на уровнях .

В любом случае при заданной форме сигнала сжатие его во времени с целью, например, повышения точности определения момента его появления неизбежно сопровождается расширением спектра, что заставляет расширять полосу пропускания измерительного устройства.

Аналогично сжатие спектра импульса с целью повышения точности, измерения частоты неизбежно сопровождается растяжением сигнала во времени, что требует удлинения времени наблюдения (измерения). Невозможность одновременно сконцентрировать сигнал в узкой полосе частот и в коротком интервале времени представляет собой одно из проявлений известного в физике принципа неопределенности.

Вопрос о величине произведения длительность X полоса актуален в связи с проблемой электромагнитной совместимости, возникающей при взаимных помехах радиостанций. С этой точки зрения наиболее желательна форма импульсов, близкая к колоколообразной.

2. СКОРОСТЬ УБЫВАНИЯ СПЕКТРА ВНЕ ОСНОВНОЙ ПОЛОСЫ

Для выявления связи между поведением в области относительно высоких частот и структурой сигнала s(t) воспользуемся свойствами таких испытательных сигналов, как единичный импульс и единичный скачок.

Единичный импульс является единственной функцией, имеющей неубывающую спектральную плотность на всей оси частот -

Поэтому можно утверждать, что сигнал , спектр которого вне основной полосы не убывает с ростом , содержит в своем составе дельтафункцию (в реальных условиях достаточно мощный короткий импульс).

Далее, единственной функцией времени, имеющей спектральную плотность вида является единичный скачок и . Следовательно, убывание хвоста спектра сигнала по закону свидетельствует о наличии в функции скачков, т. е. разрывов непрерывности. Но в точках разрыва производная функции обращается в дельта-функцию (с постоянным коэффициентом, равным величине скачка). Поэтому убывание спектра пропорционально указывает на наличие дельта-функции в составе производной Это рассуждение можно продолжить и для производных сигнала более высоких порядков.

Проиллюстрируем сказанное примерами трех сигналов, представленных на рис. 2.24: с разрывом, с изломом и «гладкого» сигнала (без разрывов и изломов).

В первом примере (рис. 2.24, а) производная определяется выражением

и спектральная плотность функции в соответствии с табл. 2.1

Для определения спектральной плотности сигнала , являющегося интегралом от , можно исходить из выражения

В данном случае операция законна, поскольку [см. (2.60)].

При спектральная плотность . Как видно из рис. 2.24, а, это объясняется наличием функции в первой производной сигнала s(t).